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工程造价快速估算新方法及其应用以上介绍了建立集合的概念。如果我们对周围的一切细 加考察的话，就不难发现，上述集合的概念，还不能概括所 有的事物。因为集合论中，一事物要么属于集合，要么就不 属于，这里没有模棱两可的情况。然而在现实生活中，却充 满了模糊事物、模糊概念。 我们知道，在思维中每一个概念都有一定的外延与内 涵。所谓外延就是指适合于那个概念的一切对象。符合某个 概念的那些对象的全体，叫做该概念的外延。所有的人组成 “人”这个概念的外延。外延，实际上就是一个集合。人脑 中概念的形成，实际上总要涉及到集合论。我们在说到某个 概念的外延时，总离不开一定的论域。而概念的内涵则是外 延包括的一切对象具有的本质属性。外延限定了概念的内 涵：凡人所共有而非人便不具有的特性，便是“人”这一概 念的本质属性。这样，内涵就是集合的定义，外延则是组成 该集合的所有元素。 在人们的思维中，有着许多模糊的概念。语言是思维的 外壳，在语言中有许多表现模糊概念的词，例如：年轻、暖 和、胖、响、粉红、明亮、现在、傍晚·….…等等。对于这些
μA(a1) μA(α2) μA(ui) μA(aa) A 二 X +···+ +·*·十 α: a2 aj a
这是α;∈Udb43／t 757-2022 预制装配式钢筋混凝土涵洞，是论域U里的元素，μA（α:）是α，对A的隶属 函数。这里i=1，2，#，而且
0≤μA(a;)≤1c
要特别声明一点，上面的表达式是表示一个有n个元 素的模糊f集，式子里“+”号叫“查德记号”决不是分式 求和，这点要千万注意！ 先看这样一个例子：
意思就是x)、x2、x3、x4对模糊子集A的隶属度分别是 属度分别是0.2、0、0.6、1
意思就是x、x2、x3、x4对A的补集A的隶属度分别是 0.5、0.7、0.6、0.8；x1、x2、x3、π4对B的补集B的隶
UB 1 b 0.2V A x3 x4 C1 22 x3 0.5 A.0.2 + 0.3 A 0 0.4 A 0.6 0.2 A 1 AnB x x2 x3 x4 0.2+ 0+ 0.4+ 0.2 x3 X4
同样的道理可以计算AUB、A∩B等等，这里就不细说 了。你如果有兴趣，可以自已作些练习。 我们再来看一个实例： 设以人的岁数作为论域U=【0，120]，单位是“岁”， 那么“年轻”、“年老”都是U上的模糊子集，它们的隶属 函数如下：
计算，例如40岁的人，隶属函
μA(u40）=1+{ 5
“年轻”、“年老”两个模糊子集的隶
若以“老年人”为例，把55岁代人公式计算，便可得 知55岁的人属于“老”的资格为0.5：而60岁的人属于 “老年人”的程度为0.8*.以此类推，这样一来，我们就 能对本来是模糊的语言加以定量的刻划。 在对模糊概念进行定量刻划的基础上，我们还能把“否 定”、连接词“或”、“与”以及程度副词“极”、“很”、“相 当”、“比较”、“有点儿”、“稍微有点”等定义为对从属函数 进行某种运算，这样一来，由模糊概念跟这些否定词、连接 词、程度副词构成的派生词，也能用从属函数来加以定量刻 划。这里，被定义了某种运算法则的否定词、连接词、程度 副词，就叫做“模糊算子”。 模糊算子的运算规则定义如下： 否定词“非”的从属函数 以非A=1一μA 连接词“或”的从属函数 μA或B=μAVμB 连接词“与”（“且”）的从属函数
从A与BμAAμ ABBμAAμ
程度副词“极”、“很”、“相当”、“比较”、“有点儿” “稍微有点”的从属函数
μ极A=（μA） μ很A=(μA)² μ相当A=（μA）1.25 μ比较A=(μA）0.75 μ有点A=（μA）0.5 自微有点A =(μA)0.25
属于“高而且胖”的程度就只有
2.环和AB，定义为
0.9 V 0.4 =0.9:
A+B（x)=(μA（x)+μB(x))A
3.代数积A·B，定义为
μA·B(x)=μA（x)·μB(x）
为了研究模糊数学的应用，还引进了两个重要的概念： 一个叫入截集，一个叫支集。 我们现在先从一个实例谈起。
假如某医生今天给五个发烧病人看病，设这五个病人是 1x1，x2，x3，x4，x5}，他们的体温依次是38.9℃、 37.2℃、37.8℃、39.2℃、38.1℃，医生在统计表上就可以 这样写：
假如某医生今天给五个发烧病人看病，设这五个 1x1，x2，x3，x4，x5}，他们的体温依次是1 37.2℃、37.8℃、39.2℃、38.1℃，医生在统计表上 这样写： 37℃以上的五人x1,x2，3，x4,xs}， 38℃以上的三人1c1，x4，x51， 39℃以上的一人1x4。 如果规定37.5℃以下的不算发烧，问有多少发烧病 生就可以回答：
x1,x3,x4,x5i。
但是所谓“发烧”实际上是一个模糊概念，它存在程度上的 不同，也就是说要用隶属函数来描述。如果根据医师的经验 规定，对“发烧”来说： 体温39℃以上的隶属函数μ（x）=1； 体温38.5℃以上不到39℃的，隶属函数μ（x）=0.9； 体温38℃以上不到38.5℃的，隶属函数p（x）=0.7； 体温37.5℃以上不到38℃的，隶属函数μ（x）=0.4； 体温37.5℃以下的，不算发烧，隶属函数是0。 我们就可以用模糊集合来处理这个问题。用A表示“发烧” 这一模糊子集，那么
0.9 + 0+ 0.4+ 1+ 0.7
Ao.9 =tx1,x4
同样，如果用A0.8、A0.6、A0.4分别表示μA（x）≥
（x）≥0.6、μA（x）≥0.4的普通集合，我们有
一般地，我们用A表示μA（x）≥X的集合，这个集 合就叫入截集，也叫入水平集。 现在我们可以给入截集下这样一个定义：设A是论域 X上的模糊子集，而A=x！μA（x）≥入,x∈X}，就把 A叫做模糊集A的入截集。这里A是一个普通集合， 0≤入≤15 我们*开头不是问一共有多少发烧病人吗？这其实是问 μA（x）>0的集合，而这个集合也就是所有入>0的入截集 的并集，这个并集就叫做A的支集，可以用A表示，就 是
A =U A = ix I μa(x) > 0,x ∈ X}。
A也有的书上记作suppA°。UA就是表示所有入>O的 入截集的并集的意思。 对于发烧病人的例子，A的支集就正是
就是所有算作“发烧”的病人全体所构成的集合 下面我们再举一个例子：
suppA=x1,x3x4,xsf
U=ia,b,c,d,e,f}
0.3.0.6+0.9. 0 + 0.1 A=1 "atbfc Q e f Ao.1 =a,b,c,d,fl, A0.3 =a,b,c,d}, Ao.s =a,c,dl, Ao.9 =fa,d}, A,=la}, ppA =1a,b,c,d,f}。
0.3 . 0.6.0.9 . 0 . 0.1 A 2 二 α b f
以后为简便起见，A的支集以外的元素可以略去不写， 就是说。
0.3. 0.6. 0.9 . 0.1 A a 6 C α
当入=1，A1也叫做A的“核”。如果A的核A≠ （就是A的核不是空集），那么我们说模糊子集A是“正规 的”。 查德提出模糊集合的概念，把模糊集合的交并等运算定 义为逐元对隶属度进行min（A）和max（V）的运算。
μA∩B(x）=min（μA(x）μB(x)）=μA(x）AμB(x) μAUB(x) =max(μA(x),μB(x)) =μA(x) V μB(x) 是很大的成功，至今有关模糊数学的文献中绝大多数都是 A、V运算进行分析的。 立设冷城
这是很大的成功，至今有关模糊数学的文献中绝大多数都是 用人、V运算进行分析的。 又设论域：
U=x1,2,xxxs
0.2V.0.5 V0 AUB x1 x2 工3 0V0.1. 0.5V0.7 X4 x5 =0.5/x1 + 0.7/x2 + 1/x3 + 0.1/x4 + 0.7/xs 0.2A0.5 0.7A0.3.1A 0 AnB x1 工2 C3 0 A 0.1 . 0.5 A 0.7 X4 x5 =0.2/x1+ 0.3/x2+0.5/xs
2 2 1 0.9 1 0.9 K 4 5
此处！、マ、K均用查德记号表示，因Ⅱ的峰值在1， 俗称“1”并读作“模糊1”。同理J、K分别记作“2”和 “4”，并读作“模糊2”和“模糊4”
根据加法结合律，我们先计算『十了，由上面公式，因
』有两项，』有三项，配搭起来共有2×3项，抽象运算 “￥”在此时是“+”组合结果为：
1A0.1.1A1.1A0.8 1+1 1+2 1+3
0.1A0.1+0.1 A.1+0.1A.0.8 2+1 2+2 2+3
（中第二项配！中各项）
在上式中，分母中“+”是数的加法，而连接两项“+”是 查德记号，“人”为取最小值。 将上式化简得
0.1 . 1 ± 0.8 2+3+4 0.1. 0.1 + 9 0.1 3 4 5
再对“分母”相同各项取隶属度最大值，（即进行“V 一T* 运算）则得：
南京中医药大学人工河治理工程施工组织设计技术标0.1 1 0.8 +J 0.1 二 2 + 3 + 4 1 5
其峰值在3，可理解为1+2=3，这是符合对普通数加 法的习惯，将}+』记作3，再与K作加法运算，即求： 3+K=？根据交换律3+K=K+3，仿前面3此时有 四项，K有三项，搭配起来共有4×3=12项，具体如下： K中第一项配3中各项：
0.9A 0.1±0.9A1+0.8A0.8.0.9A0.1 3+2 + 3+3 3+4 3+5
K中第二项配3中各项：
K中第三项配3中各项：
中建_机电施工工艺标准-145页ppt.ppt1 A 0.1 + 1 A1 + 1 A 0.8 + 1A 0.1 4+2 4+3 4+4 4+5
0.9A0.1.0.9A1.0.9A0.8.0.9A0. 5+2 5+3 5+4 5+5